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因数是什么意思数学(因数和倍数知识点总结)

来源:投稿     浏览:次 时间:2023-10-20 09:27:02

一.概念描述

现代数学:如果整数a能被自然数b整除,那么a叫作b的倍数,b叫作a的约数(也叫因数);如果整数a不能被自然数b整除,就表示a不是b的倍数,或者b不是a的约数。

小学数学:小学数学教材中一般是这样阐述因数和倍数的概念的。2004年北京版教材第10册的第46页指出:如果数a能被数b整除,a就叫作b的倍数,b就叫作a的约数(也就是因数)。例如,15能被3整除,15是3的倍数,3是15的因数。2013年人教版教材五年级下册第12页指出:2x6=12,2和6是12因数,12是2和6的倍数。

二.概念解读

(1)因数和倍数的表达

因数和倍数表示的是一个数与另一个数的关系,它们是两个相互依存的概念,不能单独存在。因此,在叙述时,一定要说明哪个数是哪个数的因数或倍数,而不能说成某数是因数或倍数。例如对15÷3=5,应说15是3的倍数,3是15的因数;而不能说15是倍数,3是因数。

(2)求一个数的因数的方法

例如,18的因数有哪些?用乘法想:哪两个整数相乘的积是18?18=1×18,18=2×9......用除法想:18÷1=18,18÷2=9......

一个数的因数可以从1找起,也就是从最小的因数找起,一直找到它本身(如18的因数有1、2、3、6、9、18),也可以一对一对地找(如18的因数有1和18,2和9,3 和6)。

(3)求一个数的倍数的方法

例如,你能找出多少个2的倍数?从2的1倍找起,接着2的2倍、3倍……也可以这样想:2x1=2,2x2=4,2×3=6…...

学生会发现,一直这样找下去是找不完的,说明2的倍数有无数个。

(4) 一个数的因数和倍数的特点

一个数的最小的因数是1,最大的因数是它本身,它的因数的个数是有限的。

一个数的最小的倍数是它本身,没有最大的倍数,它的倍数的个数是无限的。

(5)有趣的数

①完全数,又叫完美数。

—个自然数的所有真因数之和等于它本身,这样的自然数叫完全数。

真因数即除了本身以外的所有正因数。例如,6的因数有:1、2、3、6。除去它本身6之外,剩下的1、2、3这三个因数都是6的真因数。把这三个真因数加起来---1+2+3=6,它们的和正好等于它本身,所以6就是一个完全数。

再如28,把它所有的真因数加起来---1+2+4+7+14= 28,它们的和也正好等于它本身,所以28也是一个完全数。

前十个完全数是:

6(1位)

28(2位)

496(3位)

8128 (4位)

33550336(8位)

8589869056 (10位)

137438691328(12位)

2305843008139952128(19位)

2658455991569831744654692615953842176( 37位)

191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (54位)

最早研究完全数的是古希腊数学家毕达哥拉斯。完全数自从诞生后,就一直吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。目前已发现47个完全数,都是偶数,尾数是6或8,于是人们又在猜测会不会有奇完全数存在呢?

完全数还有许多有趣的性质:

a.每个完全数都能写成连续自然数之和(三角形数)。

例如:6=1+2+3

28= 1+2+3+4+5+6+7

496= 1+2+3+...+30+31

b.每个完全数它们的全部因数的倒数之和都等于2,因此每个完全数又都可以叫做调和数。

例如:1/1+1/2+1/3+1/6 =2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2

c.除6以外的每个完全数各位数字相加直到变成一位数,这个一位数一定是1。这也可以看作:除6以外的完全数,被9除都余1。

例如:28---2+8=10, 1+0=1

496----4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

②亏数和盈数。

对于“4”这个数,它的真因数有1、2,它们的和是3,比4本身小,像这样的自然数叫作亏数。

对于“12”这个数,它的真因数有l、2、3、4、6.它们的和是16,比12本身大,像这样的自然数叫作盈数。

所以,完全数就是既不盈余、也不亏欠的自然数。

③相亲数,又称亲和数、友爱数。

两个正整数中,彼此的全部真因数之和与另一方相等。

例如220与284,220的全部真因数相加的和是:1+2+4+5+10+1 1+20+22+44+55+110= 284。284的全部真因数相加的和是:1+2+4+71+142= 220。

所以,220与284是一对亲和数。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,是人类认识的第一对亲和数,也是最小的一对。现在,人们找到的亲和数已经超过了1200多对。

人们发现的前十对亲和数为:220与284, 1184与1210,2620与2924, 5020与5564, 6232与6368, 10744与10856, 12285与14595,17296与18416, 63020与76084, 66928与66992。

人们还研究了友好数链:这是一连串自然数,其中每—个数的真因数之和都等于下一个数,最后一个数的真因数之和等于第一个数。如12496, 14288, 15472, 14536, 14264。

其中,最长的链竞包含了28个数:14316, 19116, 31704, 47616,83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904,366556. 274924, 275444, 243760, 376736, 318028, 285778, 152990,122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716。

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